每日一题[1915]巧立名目

已知三次函数 $f(x)$ 的图象上有三点 $A(2,4)$，$B(3,9)$，$C(4,16)$，直线 $AB,AC,BC$ 分别与 $f(x)$ 的图象交于 $D,E,F$，点 $D,E,F$ 的横坐标之和为 $24$，则 $f(0)=$ （       ）

A．$-2$

B．$0$

C．$2$

D．$\dfrac{24}{5}$

E．$8$

答案    D．

解析    根据题意，可设 $f(x)=a(x-2)(x-3)(x-4)+x^2$，设直线 $AB$ 的方程为 $y=bx+c$，且 $D,E,F$ 点的横坐标分别为 $x_1,x_2,x_3$，于是根据三次方程的韦达定理，有

$$2+3+x_1=\dfrac{9a-1}a,$$ 类似的，有 $$2+4+x_2=3+4+x_3=\dfrac{9a-1}a,$$ 三式相加，可得 $$2(2+3+4)+(x_1+x_2+x_3)=\dfrac{9a-1}a\cdot 3\implies a=-\dfrac 15,$$ 因此 $f(0)=-24a=\dfrac{24}5$．