每日一题[1914]合理分类

四个人玩一个游戏，每个玩家开始都有 $4$ 枚硬币．袋中装有一个绿球、一个红球和两个白球，每个回合中每个玩家按顺序随机抽一个球（不放回），得到绿球的人给得到红球的人一枚硬币．四个回合后游戏结束，此时每个玩家手中还是 $4$ 枚硬币的概率是（       ）

A．$\dfrac{7}{576}$

B．$\dfrac{5}{192}$

C．$\dfrac{1}{36}$

D．$\dfrac{5}{144}$

E．$\dfrac{7}{48}$

答案    B．

解析    用 $4\times 2$ 的矩阵表示结果，如 $A$ 给了 $B$ 一枚硬币；$B$ 给了 $C$ 一枚硬币；$C$ 给了 $D$ 一枚硬币；$D$ 给了 $A$ 一枚硬币，表示为

$$\begin{pmatrix} A&B\\ B&C\\ C&D\\ D&A\end{pmatrix}$$ 则这样的矩阵有共有 $12^4$ 个，我们需要计算 $A,B,C,D$ 出现在 $2$ 列的次数一样多的矩阵个数．

情形一    矩阵中只有 $2$ 种字母．此时符合题意的矩阵有 $\mathop{\rm C}\nolimits_4^2\mathop{\rm C}\nolimits_4^2=36$ 个．

情形二    矩阵中只有 $3$ 种字母．此时某个字母在两列各出现 $2$ 次，总矩阵数为 $\mathop{\rm C}\nolimits_4^1\mathop{\rm C}\nolimits_3^2\cdot 4!=288$ 个．

情形三    矩阵中有 $4$ 个字母．即考虑 $4$ 个字母的错排数，共有 $4!\cdot 9=216$ 个．

综上所述，所求概率为 $\dfrac{36+288+216}{12^4}=\dfrac{540}{12^4}=\dfrac5{192}$．