每日一题[1913]分段求和

从区间 $(0,1)$ 中等可能的取出实数 $x,y$，则 $\left[{\log_2}x\right]=\left[{\log_2}y\right]$ 的概率是（       ）

A．$\dfrac{1}{8}$

B．$\dfrac{1}{6}$

C．$\dfrac{1}{4}$

D．$\dfrac{1}{3}$

E．$\dfrac{1}{2}$

答案    D．

解析    若 $\left[{\log_2}x\right]=\left[{\log_2}y\right]=-k$（$k\in\mathbb N^{\ast}$），则 $x,y\in\left[\dfrac1{2^k},\dfrac{1}{2^{k-1}}\right)$，对应的概率为 $\left(\dfrac{1}{2^{k-1}}-\dfrac{1}{2^k}\right)^2=\dfrac{1}{4^k}$，因此所求概率为

$$\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{4^k}=\dfrac{\dfrac 14}{1-\dfrac 14}=\dfrac 13.$$