每日一题[1909]逐渐靠近

已知数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_0=5$ 且 $x_{n+1}=\dfrac{x_n^2+5x_n+4}{x_n+6}$（$n\in\mathbb N$）．设 $m$ 是使得 $x_m\leqslant 4+\dfrac1{2^{20}}$ 成立的最小正整数，则 $m$ 所处的区间为（       ）

A．$[9,26]$

B．$[27,80]$

C．$[81,242]$

D．$[243,728]$

E．$[729,\infty]$

答案    C．

解析    根据题意，有 $$x_{n+1}-4=\dfrac{(x_n-4)(x_n+5)}{x_n+6},$$ 设 $y_n=x_n-4$（$n\in\mathbb N$），则 $$\dfrac{y_{n+1}}{y_n}=1-\dfrac1{y_n+10},$$ 递推可得 $y_n\in (0,1]$，于是 $\dfrac{y_{n+1}}{y_n}\in \left(\dfrac9{10},\dfrac{10}{11}\right]$，因此 $y_n\in\left(\left(\dfrac9{10}\right)^n,\left(\dfrac{10}{11}\right)^n\right]$．考虑到需要与 $\dfrac 12$ 的幂进行比较，而 $$\left(\dfrac9{10}\right)^6=\dfrac{531441}{1000000}>\dfrac 12,\left(\dfrac{10}{11}\right)^{10}=\dfrac{1}{1.1^{10}}<\dfrac 12,$$ 因此 $$\left(\dfrac9{10}\right)^{80}>\dfrac{1}{2^{15}},\left(\dfrac{10}{11}\right)^{243}<\dfrac{1}{2^{24}},$$ 因此 $m$ 所处的区间是 $[81,242]$．