已知数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_0=5$ 且 $x_{n+1}=\dfrac{x_n^2+5x_n+4}{x_n+6}$（$n\in\mathbb N$）．设 $m$ 是使得 $x_m\leqslant 4+\dfrac1{2^{20}}$ 成立的最小正整数，则 $m$ 所处的区间为（ ）
A．$ [9,26] $
B．$ [27,80] $
C．$ [81,242]$
D．$ [243,728] $
E．$ [729,\infty]$
答案 C．
解析 根据题意，有\[x_{n+1}-4=\dfrac{(x_n-4)(x_n+5)}{x_n+6},\]设 $y_n=x_n-4$（$n\in\mathbb N$），则\[\dfrac{y_{n+1}}{y_n}=1-\dfrac1{y_n+10},\]递推可得 $y_n\in (0,1]$，于是 $\dfrac{y_{n+1}}{y_n}\in \left(\dfrac9{10},\dfrac{10}{11}\right]$，因此 $y_n\in\left(\left(\dfrac9{10}\right)^n,\left(\dfrac{10}{11}\right)^n\right]$．考虑到需要与 $\dfrac 12$ 的幂进行比较，而\[\left(\dfrac9{10}\right)^6=\dfrac{531441}{1000000}>\dfrac 12,\left(\dfrac{10}{11}\right)^{10}=\dfrac{1}{1.1^{10}}<\dfrac 12,\]因此\[\left(\dfrac9{10}\right)^{80}>\dfrac{1}{2^{15}},\left(\dfrac{10}{11}\right)^{243}<\dfrac{1}{2^{24}},\]因此 $m$ 所处的区间是 $[81,242]$．