每日一题[1867]先猜后证

已知 $a>0$，$b>0$，$m>0$，不等式 $\sqrt{\dfrac{a^2}{a^2+b^2}}+m\sqrt{\dfrac b{a+b}}\leqslant \dfrac{5\sqrt 2}2$ 恒成立，则 $m$ 的最大值为_______．

答案    $\dfrac{5\sqrt 2}2$．

解析    一方面，取 $a\to 0$，可得 $m\leqslant \dfrac{5\sqrt 2}2$．

另一方面，取 $m=\dfrac{5\sqrt 2}2$，原不等式即

$$\sqrt{\dfrac{a^2}{a^2+b^2}}\leqslant \dfrac{5\sqrt 2}2\left(1-\sqrt{\dfrac b{a+b}}\right)\iff \dfrac{a^2}{a^2+b^2}\leqslant \dfrac{25}2\left(1-2\sqrt{\dfrac{b}{a+b}}+\dfrac{b}{a+b}\right),$$ 也即 $$25\sqrt{\dfrac{b}{a+b}}\leqslant \dfrac{25}2+\dfrac{25}2\cdot \dfrac{b}{a+b}-\dfrac{a^2}{a^2+b^2},$$ 注意到 $$\dfrac{a^2}{a^2+b^2}=\dfrac{2a^2}{2a^2+2b^2}\leqslant \dfrac{2a^2}{(a+b)^2},$$ 设 $\dfrac{a}{a+b}=x$，只需要证明 $$25\sqrt{1-x}\leqslant \dfrac{25}2(2-x)-2x^2,$$ 即 $$625(1-x)\leqslant 625 - 625 x + \dfrac{225x^2}4+ 50 x^3 + 4 x^4,$$ 成立．

综上所述，$m$ 的最大值为 $\dfrac{5\sqrt 2}2$．

备注    设 $\dfrac{b}{a+b}=x$，则 $0<x<1$，且 $a=\dfrac{1-x}xb$，于是

$$\dfrac{1-x}{\sqrt{x^2+(1-x)^2}}+m\sqrt x\leqslant \dfrac{5\sqrt 2}2\iff m\leqslant \dfrac{5}{\sqrt {2x}}-\dfrac{1-x}{\sqrt{2x^3-2x^2+x}},$$ 用 $\tt mma$ 发现右侧 $f(x)$ 是单调递减函数，因此 $m$ 的最大值为 $f(1)=\dfrac{5\sqrt 2}2$．