每日一题[1840]迭代函数法

已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_n>0$，且 $a_n^2=2a_{n+1}^2-a_{n+1}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），下列说法正确的是（       ）

A．若 $a_1=\dfrac 12$，则 $a_n>a_{n+1}$

B．若 $a_n<a_{n+1}$，则 $a_1>1$

C．$a_1+a_5\leqslant 2a_3$

D．$|a_{n+2}-a_{n+1}|\leqslant \dfrac{\sqrt 2}2|a_{n+1}-a_n|$

答案    D．

解析    根据题意，有

$$a_{n+1}=\dfrac{1+\sqrt{1+8a_n^2}}4,$$ 设迭代函数 $f(x)=\dfrac{1+\sqrt{1+8x^2}}4$，则其与直线 $y=x$ 的位置关系如图．

因此当 $0<a_1<1$ 时，数列 $\{a_n\}$ 单调递增趋于 $1$；当 $a_1>1$ 时，数列 $\{a_n\}$ 单调递减趋于 $1$．选项 AB 均错误． 当 $x>1$ 时，函数 $f(x)-x$ 单调递减，因此

$$a_5-a_4>a_4-a_3>a_3-a_2>a_2-a_1\implies a_5-a_3>a_3-a_1,$$ 因此选项 C 错误． 选项 D 即证明 $$\forall x>0,\left|\dfrac{1+\sqrt{1+8x^2}}4-x\right|\leqslant \dfrac{\sqrt 2}2\left|x-\sqrt{2x^2-x}\right|,$$ 当 $x=1$ 时，命题显然成立． 当 $x>1$ 时，不等式即 $$x-\dfrac{1+\sqrt{1+8x^2}}4\leqslant \dfrac{\sqrt 2}2\cdot \left(\sqrt{2x^2-x}-x\right),$$ 也即 $$(4+2\sqrt 2)x-1\leqslant 2\sqrt 2\cdot \sqrt{2x^2-x}+\sqrt{1+8x^2},$$ 也即 $$4x^2-x\leqslant \sqrt{2x^2-x}\cdot \sqrt{1+8x^2},$$ 也即 $$x^2-x>0,$$ 这显然成立，因此命题得证． 当 $x<1$ 时，与 $x>1$ 类似可证命题成立． 综上所述，正确的选项是 D．