每日一题[1840]迭代函数法

已知数列 {an} 满足:an>0,且 a2n=2a2n+1an+1nN),下列说法正确的是(       )

A.若 a1=12,则 an>an+1

B.若 an<an+1,则 a1>1

C.a1+a5

D.|a_{n+2}-a_{n+1}|\leqslant \dfrac{\sqrt 2}2|a_{n+1}-a_n|

答案    D.

解析    根据题意,有a_{n+1}=\dfrac{1+\sqrt{1+8a_n^2}}4,设迭代函数 f(x)=\dfrac{1+\sqrt{1+8x^2}}4,则其与直线 y=x 的位置关系如图.

因此当 0<a_1<1 时,数列 \{a_n\} 单调递增趋于 1;当 a_1>1 时,数列 \{a_n\} 单调递减趋于 1.选项 AB 均错误. 当 x>1 时,函数 f(x)-x 单调递减,因此a_5-a_4>a_4-a_3>a_3-a_2>a_2-a_1\implies a_5-a_3>a_3-a_1,因此选项 C 错误. 选项 D 即证明\forall x>0,\left|\dfrac{1+\sqrt{1+8x^2}}4-x\right|\leqslant \dfrac{\sqrt 2}2\left|x-\sqrt{2x^2-x}\right|,x=1 时,命题显然成立. 当 x>1 时,不等式即x-\dfrac{1+\sqrt{1+8x^2}}4\leqslant \dfrac{\sqrt 2}2\cdot \left(\sqrt{2x^2-x}-x\right),也即(4+2\sqrt 2)x-1\leqslant 2\sqrt 2\cdot \sqrt{2x^2-x}+\sqrt{1+8x^2},也即4x^2-x\leqslant \sqrt{2x^2-x}\cdot \sqrt{1+8x^2},也即x^2-x>0,这显然成立,因此命题得证. 当 x<1 时,与 x>1 类似可证命题成立. 综上所述,正确的选项是 D.

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