每日一题[1839]变量转化

已知函数 $f(x)={\rm e}^x-ax$．

1、当 $a>0$ 时，设函数 $f(x)$ 的最小值为 $g(a)$，求证：$g(a)\leqslant 1$．

2、若函数 $h(x)=f(x)-\dfrac 12x^2$ 有两个极值点 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$），证明：$h(x_1)+h(x_2)>2$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)={\rm e}^x-a,$$ 于是其最小值为 $f(\ln a)=a-a\ln a$，而 $$a-a\ln a\leqslant 1\iff \ln a\geqslant 1-\dfrac 1a,$$ 这显然成立，命题得证．

2、根据题意，有 $a>1$，$x_1<0<x_2$，且 $${\rm e}^{x_1}-a-x_1={\rm e}^{x_2}-a-x_2=0,$$ 问题的关键是把欲证不等式左边变成单变量函数．构造函数 $\mu(x)=h'(x)-h'(-x)$，则 $\mu(0)=0$，且其导函数 $$\mu'(x)=h''(x)+h''(-x)={\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-2\geqslant 0,$$ 于是 $\mu(x)$ 单调递增，从而当 $x>0$ 时，$\mu(x)>0$；当 $x<0$ 时，$\mu(x)<0$，因此 $$\mu(x_1)<0\implies h'(x_1)=h'(x_2)>h'(-x_2)\implies x_1<-x_2,$$ 由于 $h(x)$ 在 $(x_1,x_2)$ 上单调递减，于是 $$h(x_1)+h(x_2)>h(x_2)+h(-x_2)={\rm e}^{x_2}+\dfrac{1}{{\rm e}^{x_2}}-x_2^2,$$ 记 $r(x)={\rm e}^x+\dfrac{1}{{\rm e}^x}-x^2$，则其导函数 $$r'(x)={\rm e}^x-\dfrac{1}{{\rm e}^x}-2x,$$ 其二阶导函数 $$r''(x)={\rm e}^x+\dfrac{1}{{\rm e}^x}-2\geqslant 0,$$ 于是 $r'(x)$ 有唯一零点 $x=0$，进而 $r(x)$ 的极小值，也为最小值是 $r(0)=2$，命题得证．