每日一题[1835]相交直线定义

在平面直角坐标系 $xOy$ 中,已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)的一个焦点为 $\left(2\sqrt 2,0\right)$,过双曲线上的一点 $M$ 作一条渐近线的平行线,交另一条渐近线于点 $A$,若 $\triangle OMA$ 的面积为 $1$,则双曲线的离心率 $e$ 为_______.

答案    ${\sqrt 2}$.

解析    利用双曲线的相交直线定义,$\triangle OMA$ 的面积为 $\dfrac 14ab$,于是 $ab=4$,从而\[\dfrac{a^2+b^2}{ab}=2\implies a=b\implies e={\sqrt 2}.\]

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