每日一题[1835]相交直线定义

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的一个焦点为 $\left(2\sqrt 2,0\right)$，过双曲线上的一点 $M$ 作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点 $A$，若 $\triangle OMA$ 的面积为 $1$，则双曲线的离心率 $e$ 为_______．

答案    ${\sqrt 2}$．

解析    利用双曲线的相交直线定义，$\triangle OMA$ 的面积为 $\dfrac 14ab$，于是 $ab=4$，从而

$$\dfrac{a^2+b^2}{ab}=2\implies a=b\implies e={\sqrt 2}.$$