每日一题[1816]一岁之差天壤之别

$\tt Joey,Chloe$ 和他们的女儿 $\tt Zoe$ 同一天生日，$\tt Joey$ 比 $\tt Chloe$ 大一岁，$\tt Zoe$ 今天刚好一岁．若今天是 $\tt Chloe$ 的年龄是 $\tt Zoe$ 年龄的整数倍，且此情形在今后还会发生 $8$ 次，那么下一次 $\tt Joey$ 的年龄是 $\tt Zoe$ 年龄的整数倍时，$\tt Joey$ 的年龄的各位数字之和为_______．

答案    $11$．

解析    设 $\tt Chloe$ 今天 $n$ 岁，则

$$n+x=y(1+x)$$ 有 $9$ 组自然数解 $(x,y)$．该方程即 $$n-1=(x+1)(y-1),$$ 由于有奇数个约数的数为完全平方数，因此尝试可得 $n-1=36$，且对应的 $9$ 组解为 $$(x+1,y-1)=(1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6),(9,4),(12,3),(18,2),(36,1).$$ 因此今年 $\tt Joey$ $38$ 岁，与之前的分析类似，对应的解为 $$(x+1,y-1)=(1,37),(37,1),$$ 因此下一次 $\tt Joey$ 的年龄是 $\tt Zoe$ 年龄的整数倍时，$\tt Joey$ 的年龄是 $74$ 岁（$\tt Zoe$ 的年龄是 $37$ 岁），所求和为 $11$．