每日一题[1814]数值估计

有一个三人报数游戏：首先 $A$ 报数字 $1$，然后 $B$ 报下两个数字 $2,3$，接下来 $C$ 报下三个数字 $4,5,6$，然后轮到 $A$ 报下四个数字 $7,8,9,10$，依次循环，直到报出 $10000$，则 $A$ 报出的第 $2019$ 个数字是_______．

答案    $5979$．

解析    $A$ 在第 $k$ 轮报数中报出 $3k-2$ 个数字，且报出的第一个数字为

$$x_k=1+6+15+\cdots+(9k-12)=1+\dfrac{(k-1)(9k-6)}{2},$$ 考虑到 $$1+4+\cdots+(3k-2)=\dfrac{(3k-1)k}{2}=k\left(k-\dfrac13\right)\cdot \dfrac 32,$$ 笔算开平方 $\sqrt{2019\cdot \dfrac 23}=\sqrt{1345}\approx 36.6\cdots$，于是可得 $A$ 在第 $37$ 轮时报出第 $2019$ 个数字，这个数字为 $$x_{37}-1+\left(2019-\dfrac{(3k-1)k}{2}\bigg| _{k=36}\right)=5886+(2019-1926)=5979.$$