每日一题[1809]映射与对应

已知集合 $M\subseteq N^{\ast}$，且 $M$ 中的元素个数 $n$ 大于等于 $5$．若集合 $M$ 中存在四个不同的元素 $a,b,c,d$，使得 $a+b=c+d$，则称集合 $M$ 是关联的，并称集合 $\{a,b,c,d\}$ 是集合 $M$ 的关联子集；若集合 $M$ 不存在关联子集，则称集合 $M$ 是独立的．

1、分别判断集合 $\{2,4,6,8,10\}$ 与 $\{1,2,3,5,8\}$ 是关联的还是独立的？若是关联的，写出其所有的关联子集．

2、已知集合 $M=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$ 是关联的，且任取集合 $\{a_i,a_j\}\subseteq M$，总存在 $M$ 的关联子集 $A$，使得 $\{a_i,a_j\}\subseteq A$，若 $a_1<a_2<a_3<a_4<a_5$，求证：$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ 是等差数列．

3、若集合 $M$ 是独立的，求证：存在 $x\in M$，使得 $x>\dfrac{n^2-n+9}4$．

解析

1、$\{2,4,6,8,10\}$ 是关联的，其所有关联子集为

$$\{2,4,6,8\},\{4,6,8,10\},\{2,4,8,10\},$$ $\{1,2,3,5,8\}$ 是独立的

2、记集合 $A_i=M\setminus \{a_i\}$（$i=1,2,3,4,5$），有

引理   $A_i$（$i=1,2,3,4,5$）中至少有 $3$ 个关联子集．

引理的证明    用反证法．若关联子集只有 $1$ 个，设为 $A_k$，则取 $a_k$ 和剩余元素中任意一个组成集合，则无法找到对应的关联子集 $A$．若关联子集只有 $2$ 个，设为 $A_p,A_q$，则取集合 $\{a_p,a_q\}$，则无法找到对应的关联子集 $A$． 又当 $A_2$ 或 $A_4$ 是关联子集时，容易证明 $A_1,A_3,A_5$ 均不为关联子集，因此结合引理可得 $A_1,A_3,A_5$ 均为关联子集，即

$$\begin{cases} a_2+a_5=a_3+a_4,\\ a_1+a_5=a_2+a_4,\\ a_1+a_4=a_2+a_3,\end{cases}\iff \begin{cases} a_5-a_4=a_3-a_2,\\ a_5-a_4=a_2-a_1,\\ a_4-a_3=a_2-a_1,\end{cases}$$ 因此 $a_5-a_4=a_4-a_3=a_3-a_2=a_2-a_1$，命题得证．

3、设 $M=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$（$n\geqslant 5$）且 $a_1<a_2<\cdots<a_n$，记

$$T=\{a_i+a_j\mid 1\leqslant i<j\leqslant n,i,j\in\mathbb N^{\ast}\},$$ 若集合 $M$ 是独立的，则 $${\rm Card}(T)=\mathop{\rm C}\nolimits_ n^2=\dfrac{n(n-1)}2.$$ 假设命题错误，即 $M$ 中的任意元素均不超过 $\dfrac{n^2-n+9}4$，由于 $\dfrac{n^2-n+9}4\notin\mathbb N^{\ast}$，因此 $$\forall x\in M,x\leqslant \dfrac{n^2-n+8}4,$$ 从而 $$a_i+a_j\leqslant \dfrac{n^2-n+8}4+\left(\dfrac{n^2-n+8}4-1\right)=\dfrac{n^2-n}2+3,$$ 因此 $T$ 中的元素的上界为 $\dfrac{n^2-n}2+3$．显然 $T$ 中的元素下界为 $3$，从而可以分两种情况讨论．

情形一     $3\in T$，此时 $a_1=1$，$a_2=2$，进而对任意 $k=3,4,\cdots,n$，有 $a_k-a_{k-1}\geqslant 2$（否则有 $a_k-a_{k-1}=1=a_2-a_1$，集合 $\{a_1,a_2,a_{k-1},a_k\}$ 为关联子集），因此

$$a_i+a_j\leqslant \dfrac{n^2-n+8}4+\left(\dfrac{n^2-n+8}4-2\right)=\dfrac{n^2-n}2+2,$$ 从而 $$T=\left\{3,4,\cdots,\dfrac{n^2-n}2+2\right\},$$ 且 $\dfrac{n^2-n+8}2,\dfrac{n^2-n+8}2-2\in M$，进而由 $4\in T$ 可得 $3\in M$，从而 $M$ 中有关联子集 $$\left\{1,3,\dfrac{n^2-n+8}4-2,\dfrac{n^2-n+8}4\right\},$$ 不符合题意．

情形二    $3\notin T$，此时 $T=\left\{4,5,\cdots,\dfrac{n^2-n}2+3\right\}$，且 $\dfrac{n^2-n+8}2,\dfrac{n^2-n+8}2-1\in M$．此时 $4\in T$，于是 $a_1=1$ 且 $a_2=3$．考虑 $T$ 中的第二大的数，必然有

$$\dfrac{n^2-n}2+2=a_n+a_{n-2},$$ 此时 $M$ 中有关联子集 $\{1,3,a_{n-2},a_n\}$，不符合题意．

综上所述，命题得证．