每日一题[1799]升次

设 $A+B+C=180^{\circ}$，且满足：$\dfrac{\sin A+\sin B+\sin C}{\cos A+\cos B+\cos C}=1$，求 $\dfrac{\cos{2A}+\cos{2B}+\cos {2C}}{\cos A+\cos B+\cos C}$ 的值．

解析    根据题意，有

$$\sum_{\rm cyc}\sin A=\sum_{\rm cyc}\cos A\implies \left(\sum_{\rm cyc}\sin A\right)^2=\left(\sum_{\rm cyc}\cos A\right)^2,$$ 即 $$2\sum_{\rm cyc}(\sin A\sin B-\cos A\cos B)=\sum_{\rm cyc}(\cos^2A-\sin^2A),$$ 即 $$2\sum_{\rm cyc}\cos C=\sum_{\rm cyc}\cos 2A,$$ 因此所求代数式的值为 $2$．