每日一题[1769]耐心分类

设曲线 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1$（$a$ 为正的常数）与 $C_2:y^2=2(x+m)$ 在 $x$ 轴上方有一个公共点 $P$．

1、求实数 $m$ 的取值范围（用 $a$ 表示）．

2、$O$ 为原点，若 $C$ 与 $x$ 轴的负半轴交于点 $A$，当 $0<a<\dfrac 12$ 时，试求 $\triangle OAP$ 的面积的最大值（用 $a$ 表示）．

解析

1、可将曲线 $C_1$ 与 $C_2$ 的公共点的个数问题转化为研究它们的方程组成的方程组解的个数问题．根据题意，有 $$\begin{cases}\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1,\\y^2=2(x+m),\end{cases}\implies x^2+2 a^2 x+2 a^2 m-a^2=0,$$ 记方程左侧函数为 $f(x)$，则题意即函数 $f(x)$ 在 $(-a,a)$ 上只有一个零点．注意到 $f(-a)=2a^2(m-a)$，$f(a)=2a^2(m+a)$．

情形一    $f(-a)\cdot f(a)<0$，此时 $-a<m<a$，符合题意．

情形二     $f(-a)\cdot f(a)=0$．此时 $m=\pm a$，当 $m=-a$ 时，$f(-a)<0$，不符合题意．当 $m=a$ 时，对称轴在区间 $(-a,a)$ 内时符合题意，也即 $0<a<1$ 时，$m=a$ 符合题意．

情形三     $f(-a)\cdot f(a)>0$．此时 $m<-a$ 或 $m>a$，当对称轴在区间 $(-a,a)$ 内且 $\Delta=4a^4-4(2a^2m-a^2)=0$ 时符合题意，解得当 $0<a<1$ 时，$m=\dfrac{a^2+1}2$ 符合题意．

综上所述，$m$ 的取值范围是 $\begin{cases} (-a,a]\cup\left\{\dfrac {a^2+1}2\right\},&0<a<1,\\ (-a,a),&a\geqslant 1.\end{cases}$．

2、设 $P(x_0,y_0$，因为 $A(-a,0)$，所以 $\triangle OAP$ 的面积 $S=\dfrac12 a y_0$．当 $0<a<\dfrac12$ 时，由第 $(1)$ 小题的结果知 $-a<m \leqslant a$，此时 $$x_0=-a^2+a \sqrt{a^2+1-2 m}\implies y_0=\sqrt{1-\dfrac{x_0^2}{a^2}},$$ 而 $$\min x_0=\begin{cases} a-2a^2,&m=a,\\ -a^2,&m=\dfrac{a^2+1}2,\end{cases}$$ 进而可知 $$\max S=\max\left\{a\sqrt{a-a^2},\dfrac 12a\sqrt{1-a^2}\right\}=\begin{cases} \dfrac 12\sqrt{1-a^2},&0<a\leqslant \dfrac13,\\\ a\sqrt{a-a^2},&\dfrac 12<a<\dfrac 12.\end{cases}$$