每日一题[131]max函数的处理

定义$\max\{a,b\}=\begin{cases}a,a\geqslant b,\\b,a<b,\end{cases}$设实数$x,y$满足约束条件$\begin{cases}|x|\leqslant 2,\\|y|\leqslant 2,\end{cases}$则$z=\max\{4x+y,3x-y\}$的取值范围是______．

正确答案是$[-7,10]$．

法一

如图，根据题意 $$z=\begin{cases}4x+y,&x+2y\geqslant 0,\\3x-y,&x+2y<0,\end{cases}$$ 于是可以将可行域$ABCD$划分为两部分：梯形$ABEF$以及梯形$EFDC$．这两个部分的目标函数分别为$z=4x+y$以及$z=3x-y$．

作图可知，从前一部分得到的$z$的取值范围为$[7,10]$；从后一部分得到的$-z$的取值范围是$[-8,7]$．取两个部分的并集，可得$z$的取值范围是$[-7,10]$．

法二

根据题意，$z_{\max}$为$\max\{4x+y\}$和$\max\{3x-y\}$中的较大者，事实上 $$4x+y\leqslant 4|x|+|y|\leqslant 10,$$ 等号当且仅当$x=y=2$时取得；而 $$3x-y\leqslant 3|x|+|y|\leqslant 8,$$ 等号当且仅当$x=2,y=-2$时取得．因此$z_{\max}=10$．

另一方面，有 $$z=\max\{4x+y,3x-y\}\geqslant \dfrac 12(4x+y)+\dfrac 12(3x-y)=\dfrac 72x\geqslant -7,$$ 等号当且仅当$x=-2,y=1$时取得．因此$z_{\min}=-7$．

综上，$z$的取值范围是$[-7,10]$．