每日一题[1737]枚举

随机地将 $1,2,3,4,5,6$ 中这六个数分为 $A,B$ 两组，每组三个数．$A$ 组中最小数为 $a_1$，最大数为 $a_2$；$B$ 组中最小数为 $b_1$，最大数为 $b_2$，记 $X=a_2-a_1$，$Y=b_2-b_1$，则（       ）

A．$E(X)=\dfrac 72$

B．$E(X)=\dfrac 73$

C．$P(X=Y)=\dfrac 25$

D．$P(X=Y)=\dfrac{3}{10}$

答案    AC．

解析    根据对称性，不妨设 $1$ 在 $A$ 组中，此时

$$\begin{array}{cc|ccc}\hline A&B&X&Y&X=Y\\ \hline 123&456&2&2&1\\ \hline 124&356&3&3&1\\ \hline 125&346&4&3&0\\ \hline 126&345&5&2&0\\ \hline 134&256&3&4&0\\ \hline 135&246&4&4&1\\ \hline 136&245&5&3&0\\ \hline 145&236&4&4&1\\ \hline 146&235&5&3&0\\ \hline 156&234&5&2&0 \\ \hline {\rm SUM}&&40&30&4\\ \hline\end{array}$$ 因此 $E(X)=\dfrac72$，$P(X=Y)=\dfrac 25$．