每日一题[1733]消元

设 $a,b,c$ 均大于 $1$，满足

$$\begin{cases} \lg a+{\log_b}c=3,\\ \lg b+{\log_a}c=4,\end{cases}$$ 求 $\lg a\cdot \lg c$ 的最大值．

答案    $\dfrac{16}3$．

解析    记分别记 $\lg a,\lg b,\lg c$ 为 $x,y,z$，则 $x,y,z>0$ 且

$$\begin{cases} x+\dfrac zy=3,\\ y+\dfrac zx=4,\end{cases}\implies \begin{cases} xy+z=3y,\\ xy+z=4x,\end{cases}$$ 设 $x=3t$，$y=4t$，则 $z=12t-12t^2$，其中 $t\in (0,1)$，因此 $$\lg a\cdot \lg c=xz=3t(12t-12t^2)=18\cdot (t\cdot t\cdot (2-2t))\leqslant 18\cdot \left(\dfrac23\right)^3=\dfrac{16}3,$$ 等号当 $t=\dfrac 23$ 时取得，因此所求最大值为 $\dfrac{16}3$．