每日一题[1711]构造图形

若 $a,b\in\mathbb R^+$，则满足不等式 $\sqrt{x^2-\sqrt 2ax+a^2}+\sqrt{x^2-\sqrt 2bx+b^2}\leqslant \sqrt{a^2+b^2}$ 的 $x$（       ）

A．有唯一值

B．有两个值

C．有无数多个值

D．以上答案都不对

答案    A．

解析    根据题意，有

$$\sqrt{\left(x-\dfrac{\sqrt 2}2a\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt 2}2a\right)^2}+\sqrt{\left(x-\dfrac{\sqrt 2}2b\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt 2}2b\right)^2}\leqslant \sqrt{a^2+b^2},$$ 设 $A\left(\dfrac{\sqrt 2}2a,\dfrac{\sqrt 2}2a\right)$，$B\left(\dfrac{\sqrt 2}2b,-\dfrac{\sqrt 2}2b\right)$，$M(x,0)$，则 $|OA|=a$，$|OB|=b$，$|AB|=\sqrt{a^2+b^2}$，且不等式左侧为 $|MA|+|MB|$，如图．

由三角形两边之和大于第三边可得符合题意的 $M$ 只可能位于 $AB$ 与 $x$ 的交点 $\left(\dfrac{\sqrt 2ab}{a+b},0\right)$，因此所求 $x$ 的取值唯一．