每日一题[1657]面积坐标公式

过原点且斜率为正值的直线交椭圆 $\dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 于 $E,F$ 两点，设 $A(2,0),B(0,1)$．求四边形 $AEBF$ 面积的最大值．

答案    $2\sqrt 2$．

解析    设 $E(2\cos\theta,\sin\theta)$，$F(-2\cos\theta,-\sin\theta)$，其中 $\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，则根据面积坐标公式，四边形 $AEBF$ 的面积

$$S=\dfrac12\left|2\cdot 2\sin\theta-(-1)\cdot 4\cos\theta\right|=2\sqrt 2\sqrt 2\left|\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}4\right)\right|\leqslant 2\sqrt 2,$$ 等号当 $\theta=\dfrac{\pi}4$ 时取得，因此所求面积的最大值为 $2\sqrt 2$．