已知正数 x,y,z 满足 x+y+z=1.求证:对任意正整数 n,有 xn+yn+zn⩾.
解析
配次数
根据均值不等式,有\sum_{\rm cyc}\left(x^n+\dfrac{n-1}{3^n}\right)\geqslant \sum_{\rm cyc}n\sqrt[n]{x^n\cdot \left(\dfrac 1{3^n}\right)^{n-1}}=\sum_{\rm cyc}\dfrac{nx}{3^{n-1}}=\dfrac{n}{3^{n-1}},整理即得.
幂平均不等式
根据幂平均不等式,有\sqrt[n]{\dfrac{(3x)^n+(3y)^n+(3z)^n}3}\geqslant \dfrac{3x+3y+3z}3=1,整理即得.