每日一题[1653]配次数

已知正数 $x,y,z$ 满足 $x+y+z=1$．求证：对任意正整数 $n$，有 $x^n+y^n+z^n \geqslant \dfrac {1}{3^{n-1}}$．

解析

配次数

根据均值不等式，有

$$\sum_{\rm cyc}\left(x^n+\dfrac{n-1}{3^n}\right)\geqslant \sum_{\rm cyc}n\sqrt[n]{x^n\cdot \left(\dfrac 1{3^n}\right)^{n-1}}=\sum_{\rm cyc}\dfrac{nx}{3^{n-1}}=\dfrac{n}{3^{n-1}},$$ 整理即得．

幂平均不等式

根据幂平均不等式，有

$$\sqrt[n]{\dfrac{(3x)^n+(3y)^n+(3z)^n}3}\geqslant \dfrac{3x+3y+3z}3=1,$$ 整理即得．