每日一题[1624]循环作差

设数列 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ 满足 $a_{n+1}=|b_n-c_n|$，$b_{n+1}=|c_n-a_n|$，$c_{n+1}=|a_n-b_n|$，$n \in\mathbb N$．证明：对于任意正整数 $a_1,b_1,c_1$，存在正整数 $k$，使得 $a_{k+1}=a_k$，$b_{k+1}=b_k$，$c_{k+1}=c_k$．

解析    对任意正整数 $n$，用 $A_n,B_n,C_n$ 表示 $a_n,b_n,c_n$ 的升序排列．下面证明：

引理    存在正整数 $n$，使得 $A_n,B_n,C_n$ 中至少有两个相等，即 $A_n=B_n\leqslant C_n$，或者 $A_n\leqslant B_n=C_n$． 若不然，则对任意正整数 $n$，都有 $A_n<B_n<C_n$，于是 $$A_{n+1}=\min\{B_n-A_n,C_n-B_n\}\ne 0,$$ 且 $C_{n+1}=C_n-A_n\leqslant C_n$．进而 $$C_{n+2}=C_{n+1}-A_{n+1}\leqslant C_n-1,$$ 这样对任意正整数 $k$，均有 $$C_{2k+1}\leqslant C_1-k,$$ 而当 $k>C_1$ 时，这显然不成立．因此引理得证． 根据引理不难得到接下来的 $(A_{n+1},B_{n+1},C_{n+1})=(A_{n+2},B_{n+2},C_{n+2})$，因此命题得证．