每日一题[1621]四分天下

设 $n$ 是正整数，随机选取 $\{1,2,\cdots,n\}$ 的非空子集 $A$ 和 $B$，则 $A \cap B$ 不是空集的概率是_______．

答案    $\dfrac{4^n-3^n}{(2^n-1)^2}$．

解析    所求概率为 $$\dfrac{\sum_{k=1}^n\limits\mathop{\rm C}\nolimits_n^k(2^n-2^{n-k})}{(2^n-1)^2}=\dfrac{4^n-3^n}{(2^n-1)^2}.$$

备注    也可以考虑用韦恩图，考虑两个集合将全集划分成的 $4$ 个区域，然后将 $1$ 到 $n$ 中的一部分（或全部）元素投入这些区域，求没有任何一个元素投入某个指定区域的概率．