每日一题[1619]伸缩变换

如图，已知 $\triangle ABC$ 的三个顶点在椭圆 $\dfrac {x^2}{12}+\dfrac {y^2}{4}=1$ 上，坐标原点 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的重心．试求 $\triangle ABC$ 的面积．

答案    $9$．

解析    作仿射变换 $x'=x$，$y'=\sqrt 3y$，则椭圆变为圆 $x'^2+y'^2=12$，此时坐标原点 $O$ 仍为 $\triangle A'B'C'$ 的重心，而 $O$ 为 $\triangle A'B'C'$ 的外心，因此 $\triangle A'B'C'$ 为正三角形，其边长为 $6$，面积为 $\dfrac{\sqrt 3}4\cdot 6^2=9\sqrt 3$，进而 $\triangle ABC$ 的面积为 $9$．