每日一题[1618]三次函数的对称性

若函数 $f(x)=x^3-6x^2+9x$ 在 $(3-a^2,a)$ 内有最大值，则实数 $a$ 的取值范围是_______．

答案    $\left(\sqrt 2,4\right]$．

解析    函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=3(x-1)(x-3),$$ 于是函数 $f(x)$ 的极大值点为 $x=1$，极大值为 $4$，且其对称中心横坐标为 $2$，根据三次函数的对称性，其图象经过 $(4,4)$．因此 $$\begin{cases} 3-a^2<1,\\ 1<a\leqslant 4,\end{cases}\implies \sqrt 2<a\leqslant 4.$$