每日一题[1605]模周期数列

将与 $70$ 互质的所有正整数从小到大排成数列，这个数列的第 $2017$ 项为_______．

答案    $5881$．

解析    与 $70$ 互质且不大于 $70$ 的正整数的个数为

$$35-(7+5)+1=24,$$ 于是题中数列为 $$\underbrace{a_1,a_2,\cdots,a_{24}},\underbrace{a_1+70,a_2+70,\cdots,a_{24}+70},\cdots,\underbrace{a_1+70n,a_2+70n,\cdots,a_n+70n},\cdots,$$ 于是 $$a_{2017}=a_{24\cdot 84+1}=a_1+70\cdot 84=5881.$$