每日一题[1593]直径式方程

已知椭圆 $\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）经过点 $P\left(\dfrac {\sqrt 6}{2},\dfrac 12 \right)$，离心率为 $\dfrac {\sqrt 2}{2}$，动点 $M(2,t)$（$t>0$）．

1、求椭圆的标准方程．

2、求以 $OM$ 为直径且被直线 $3x-4y-5=0$ 截得的弦长为 $2$ 的圆的方程．

3、设 $F$ 是椭圆的右焦点，过点 $F$ 作 $OM$ 的垂线与以 $OM$ 为直径的圆交于点 $N$，证明线段 $ON$ 的长为定值，并求出这个定值．

解析

1、$\dfrac{x^2}2+y^2=1$．

2、以 $OM$ 为直径的圆的方程为

$$x(x-2)+y(y-t)=0\iff (x-1)^2+\left(y-\dfrac t2\right)^2=1+\dfrac{t^2}4,$$ 被直线 $3x-4y-5=0$ 截得的弦长为 $$\sqrt{\left(1+\dfrac{t^2}4\right)-\dfrac{(3-2t-5)^2}{25}}=2\implies t=4,$$ 因此所求圆的方程为 $(x-1)^2+(y-2)^2=5$．

3、设 $N(x_0,y_0$，则

$$\begin{cases} x_0(x_0-2)+y_0(y_0-t)=0,\\ (2,t)\cdot (x_0-1,y_0)=0,\end{cases}\implies x_0^2+y_0^2=2,$$ 于是线段 $ON$ 的长为定值 $\sqrt 2$．