每日一题[1573]构造与抽屉

从 $1,2,3,\cdots,2050$ 这 $2050$ 个数中任取 $2018$ 个组成集合 $A$，把 $A$ 中每个数染上红色或蓝色．求证：总存在一个染色方法，使得有 $600$ 个红数及 $600$ 个蓝数满足下列两个条件：

① 这 $600$ 个红数的和等于这 $600$ 个蓝数的和；

② 这 $600$ 个红数的平方和等于这 $600$ 个蓝数的平方和．

解析    注意到

$$\begin{cases} 1+4+6+7=2+3+5+8=18,\\ 1^2+4^2+6^2+7^2=2^2+3^2+5^2+8^2=102,\end{cases}$$ 记为 $(1,4,6,7;2,3,5,8)$，则 $(8k+1,8k+4,8k+6,8k+7;8k+2,8k+3,8k+5,8k+8)$（$k\in\mathbb N$）．将 $1,2,\cdots,2050$ 个数中模 $8$ 余 $1,4,6,7$ 的数染上红色，剩下的数染为蓝色．并将这 $2050$ 分为 $257$ 组，分别为 $256$ 个 $8$ 元集 $\{8k+1,8k+2,\cdots,8k+8\}$（$k=0,1,\cdots,255$）以及 $\{2049,2050\}$，设其中 $2018$ 覆盖了 $n$ 个 $8$ 元集，则 $$8n+(256-n)7+2\geqslant 2018 \implies n\geqslant 224,$$ 从不少于 $224$ 个 $8$ 元集中可以选出 $150$ 个，构成 $600$ 个红数及 $600$ 个蓝数，则这些数即为满足条件的数．

备注    也可以考虑用 $(0,4,5;1,2,6)$．