每日一题[1536]垂心的向量表达

设 $H$ 是 $\triangle ABC$ 的垂心，且 $3\overrightarrow{HA}+4\overrightarrow{HB}+5\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}$，则 $\cos\angle AHB =$ _______．

答案       $-\dfrac{\sqrt{6}}{6}$．

解析       根据三角形垂心的向量表达，有

$$\tan A:\tan B:\tan C=3:4:5,$$ 结合 $$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C,$$ 可得 $$(\tan A,\tan B,\tan C)=\left(\dfrac{3}{\sqrt 5},\dfrac{4}{\sqrt 5},\sqrt 5\right),$$ 于是 $$\cos \angle AHB=-\cos C=-\dfrac{\sqrt 6}6.$$