每日一题[1523]狐狸尾巴藏不住

在 $\triangle ABC$ 中，已知 $AB=4$，$AC=3$，$P$ 是边 $BC$ 的垂直平分线上的一点，则 $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow {AP}=$ _______．

答案       $-\dfrac 72$．

解析       $P$ 是边 $BC$ 的垂直平分线上一点，自然考虑到转化为 $BC$ 边上的中点 $M$ 解决问题．

设 $BC$ 的中点为 $M$，根据题意，有

$$\begin{split} \overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AP}&=\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{PM}\\ &=\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AM}\\ &=\left(\overrightarrow {AC}-\overrightarrow{AB}\right)\cdot \dfrac 12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\\ &=\dfrac 12\left(AC^2-AB^2\right)\\ &=-\dfrac 72.\end{split}$$