每日一题[1490]三角和的正切

设 $x_1,x_2,x_3$ 是方程 $x^3-17x-18=0$ 的三个根，$-4<x_1<-3$，且 $4<x_3<5$．

1、求 $x_2$ 的整数部分．

2、求 $\arctan x_1+\arctan x_2 + \arctan x_3$ 的值．

解析

1、根据韦达定理，有

$$x_1+x_2+x_3=0,$$ 于是 $$-2<x_2<0,$$ 列表有 $$\begin{array}{c|ccc}\hline x&-2&-1&0\\ \hline f(x)&8&-2&-18 \\ \hline \end{array}$$ 于是 $x_2$ 的整除部分为 $-2$．

2、设 $\arctan x_i=\theta_i$（$i=1,2,3$），则根据题意，有

$$\begin{cases} -\dfrac{\pi}2<\theta_1<\theta_2<-\dfrac{\pi}4,\\ \dfrac{\pi}4<\theta_3<\dfrac{\pi}2,\end{cases}$$ 于是 $$-\dfrac{3\pi}4<\theta_1+\theta_2+\theta_3<0.$$ 又 $$\begin{split} \tan(\theta_1+\theta_2+\theta_3)&=\dfrac{\tan(\theta_1+\theta_2)+\tan\theta_3}{1-\tan(\theta_1+\theta_2)\cdot\tan\theta_3}\\ &=\dfrac{\dfrac{x_1+x_2}{1-x_1x_2}+x_3}{1-\dfrac{x_1+x_2}{1-x_1x_2}\cdot x_3}\\ &=\dfrac{x_1+x_2+x_3-x_1x_2x_3}{1-(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)}\\ &=\dfrac{0-18}{1-(-17)}\\ &=-1,\end{split}$$ 于是 $$\arctan x_1+\arctan x_2 + \arctan x_3=\theta_1+\theta_2+\theta_3=-\dfrac{\pi}4.$$