每日一题[1443]连锁反应

解不定方程 $\underbrace{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\cdots+\sqrt x}}}}_{2019}=y$，其中 $x,y\in\mathbb N^{\ast}$．

答案 无解．

解析 根据题意，有

$$x_k=\underbrace{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\cdots+\sqrt x}}}}_k,k=1,2,\cdots,2019,$$ 均为正整数．而 $$\sqrt x<\sqrt{x+\sqrt{x}}<\sqrt x+1,$$ 因此若 $\sqrt x$ 是正整数，则 $\sqrt{x+\sqrt x}$ 不是正整数，所以原不定方程无解．