每日一题[1437]统一起点

在 $\triangle{ABC}$ 中，已知 $6\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}$，则 $\angle A=$ （ ）

A．$30^{\circ}$

B．$45^{\circ}$

C．$60^{\circ}$

D．$135^{\circ}$

答案 D．

解析 统一起点，有

$$6\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}\cdot \left(\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AB}\right)=-3\left(\overrightarrow {AC}-\overrightarrow{AB}\right)\cdot \overrightarrow{AC},]于是[\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-\dfrac 12 AB^2=-AC^2,$$ 从而 $$\cos A=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{AB\cdot AC}=-\dfrac{\sqrt 2}2,$$ 于是 $A=135^\circ$．