已知函数\(f(x)=a{\mathrm e}^{x-1}-1\)，\(x\in\mathcal R\)．若方程\(f(x)+|x-a|=0\)有且仅有两个不相等的实根，则实数\(a\)的取值范围为________．
正确的答案是\(\{-1\}\cup [0,1)\)．
分别考虑\[g(x)=a{\mathrm e}^{x-1}-1+x-a,x\geqslant a\]和函数\[h(x)=a{\mathrm e}^{x-1}-x+a,x<a\]的零点个数．
注意到\[g'(x)=a{\mathrm e}^{x-1}+1,h'(x)=a{\mathrm e}^{x-1}-1,\]且当\(a\leqslant 1\)时\(g(1)=0\)．
情形1 \(a=0\)．
此时如图，符合题意．
情形2 \(a>0\)．
此时\(g'(x)>0\)，而\(h'(a)=a{\mathrm e}^{a-1}-1\)有零点为\(a=1\)，因此需要进一步讨论．
情形2.1 \(0<a<1\)．
此时\(h'(x)<0\)，因此\(h(x)\)单调递减，\(g(x)\)单调递增，而\[g(a)=a{\mathrm e}^{a-1}-1<0,\]于是\(g(x)\)和\(h(x)\)各有一个零点，符合题意．
情形2.2 \(a=1\)．
此时与情形2.1类似，\(h(x)\)单调递减，\(g(x)\)单调递增，而\[g(a)=a{\mathrm e}^{a-1}-1=0,\]于是\(g(x)\)有一个零点为\(x=1\)，\(h(x)\)没有零点，不符合题意．
情形2.3 \(a>1\)．
此时\(h(x)\)先递减再递增，且极小值点\(x_0\)满足\(a{\mathrm e}^{x_0-1}-1=0\)，于是可得极小值为\[h(x_0)=a{\mathrm e}^{x_0-1}-1-x_0+a=a-x_0>0,\]因此\(g(x)\)与\(h(x)\)均没有零点，不符合题意．
情形3 \(a<0\)．
此时\(h'(x)<0\)，而\[g(a)=a{\mathrm e}^{a-1}-1<0,\]因此函数\(h(x)\)有一个零点．另一方面，注意到\(g(a)<0\)且\(g(1)=0\)，于是\(g(x)\)先递增后递减，因此只有当\(x=1\)为函数\(g(x)\)的极大值点时符合题意，此时将\(x=1\)代入\[a{\mathrm e}^{x-1}+1=0\]解得\[a=-1.\]
综上所述，所求实数\(a\)的取值范围是\(\{-1\}\cup [0,1)\)．
另法
当\(a>0\)时，将方程变形为\[{\mathrm e}^{x-1}=-\left|\dfrac 1ax-1\right|+\dfrac 1a,\]注意以下事实：
1、等式右边图象的“顶点”为\(\left(a,\dfrac 1a\right)\)，在双曲线\(y=\dfrac 1x\)上；
2、等式右边图象恒过点\((-1,-1)\)；
3、等式左边图象与双曲线\(y=\dfrac 1x\)的交点为\((1,1)\)，并且该点与\((-1,-1)\)的连线与等式左边图象相切与\((1,1)\)．
其他情形的讨论从略．