已知函数 f(x)={x(x−t)2,x⩽t,x4,x>t, 其中 t>0,若函数 g(x)=f(f(x)−1) 有 6 个零点,则实数 t 的取值范围是_______.
解 由题 f(x) 的单调性及值域如下表所示x(−∞,0)0(0,t3)t3(t3,t)t(t,+∞)monotonicity0
lmax
0
range(−∞,0)0(0,427t3)427t3(427t3,0)0(t4,+∞) 方程f(f(x)−1)=0等价于(f(x)=1)∨(f(x)=t+1),这两个方程共有 6 个实数解,因此必有(t4<1<427t3)∧(t4<t+1<427t3),解得 t 的取值范围是 (3,4).
其实这种复合函数零点问题感觉画图可以做得更清晰一点