每日一题[1172]分层递进

已知函数 $f(x)=\begin{cases} x(x-t)^2, &x\leqslant t,\\ \dfrac x4, &x>t ,\end{cases}$ 其中 $t>0$，若函数 $g(x)=f\left(f(x)-1\right)$ 有 $6$ 个零点，则实数 $t$ 的取值范围是_______．

解    由题 $f(x)$ 的单调性及值域如下表所示$$ \begin{array} {c|ccccccc} \hline x&(-\infty,0)&0&\left(0,\dfrac t3\right)&\dfrac t3&\left(\dfrac t3,t\right)&t&(t,+\infty)\\\hline monotonicity &\nearrow&0&\nearrow&{\rm lmax}&\searrow&0&\nearrow\\\hline range &(-\infty,0)&0&\left(0,\dfrac4{27}t^3\right)&\dfrac4{27}t^3&\left(\dfrac4{27}t^3,0\right)&0&\left(\dfrac t4,+\infty\right)\\\hline \end{array}$$ 方程\[f(f(x)-1)=0\]等价于\[\left( f(x)=1\right)\lor \left(f(x)=t+1\right),\]这两个方程共有 $6$ 个实数解，因此必有$$\left(\dfrac t4<1<\dfrac4{27}t^3\right)\wedge \left(\dfrac t4<t+1<\dfrac4{27}t^3\right),$$解得 $t$ 的取值范围是 $\left(3,4\right)$．