每日一题[112]算两次与几何解释

今天的题目是2015年北京市西城区高三二模数学理科的压轴题：

无穷数列$P:a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots,$满足$a_i\in\mathcal N^*$，且$a_i\leqslant a_{i+1}$（$i\in\mathcal N^*$）．对于数列$P$，记$T_k(P)$（$k\in\mathcal N^*$）表示集合$\left\{n\left|a_n\geqslant k\right.\right\}$中最小的数．

（1）若数列$P:1,3,4,7,\cdots$，写出$T_1(P),T_2(P),\cdots,T_5(P)$；

（2）若$T_k(P)=2k-1$，求数列$P$前$n$项的和；

（3）已知$a_{20}=46$，求$\sum\limits_{i=1}^{20}{a_i}+\sum\limits_{j=1}^{46}{T_j(P)}$的值．

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正确答案是：

（1）$1,2,2,3,4$；

（2）$\lfloor\dfrac{(n+1)^2}{4}\rfloor$；

（3）$966$．

对于第(3)小问，标准答案中给了两种解法，分别为调整法及一般化后使用数学归纳法，解法都较为繁琐．下面给出另外两种解法．

算两次

设数列$P$中有$m_i$个$i$，其中$i=1,2,\cdots,46$，则

$$\begin{split}\sum_{i=1}^{46}{m_i}&=20,\\\sum_{i=1}^{46}{\left(im_i\right)}&=a_1+a_2+\cdots+a_{20}.\end{split}$$ 于是 $$\begin{split}&\quad a_1+a_2+\cdots+a_{20}+T_1(P)+T_2(P)+\cdots+T_{46}(P)\\&=\left(a_1+a_2+\cdots+a_{20}\right)+1+\left(m_1+1\right)+\cdots+\left(m_1+m_2+\cdots+m_{45}+1\right)\\&=\sum_{i=1}^{46}{im_i}+46+45m_1+44m_2+\cdots+2m_{44}+m_{45}\\&=\sum_{i=1}^{46}{\left[\left(i+46-i\right)m_i\right]}+46\\&=46\sum_{i=1}^{46}{m_i}+46\\&=46\times {20}+46\\&=966.\end{split}$$

几何解释

以$P:1,3,4,5,\cdots,45,46$为例，将$a_i$（$i=1,2,\cdots,20$）用红色格子的数目表示，如图．那么$T_j(P)$（$j=1,2,\cdots,46$）的几何意义是高度小于$j$的红色柱子的数目（将表示数列中的项的若干红色格子看成红色柱子），也就是从下往上第$j$行的绿色格子数．

这样就可以得到$a_1+a_2+\cdots+a_{19}+a_{20}$的几何意义为图中所有的红色格子按列从左向右求和，而$T_1(P)+T_2(P)+\cdots+T_{45}(P)+T_{46}(P)$的几何意义为图中所有的绿色格子按行从下向上求和，因此所求的和式值为$(1+20)\times 46=966$．

一般情形

一般的，若$a_n=m$，那么

$$\sum_{i=1}^{n}a_i+\sum_{j=1}^{46}{T_j(P)}=m(n+1).$$

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练习题

某次测试成绩满分为$150$分，设$n$名学生的得分分别为$a_1,a_2,\cdots,a_n$（$a_i\in\mathcal N,1\leqslant i\leqslant n$），$b_k$（$1\leqslant k\leqslant 150$）为$n$名学生中得分至少为$k$分的人数．记$M$为$n$名学生的平均成绩，则（        ）

A．$M>\dfrac{b_1+b_2+\cdots+b_{150}}{n}$

B．$M=\dfrac{b_1+b_2+\cdots+b_{150}}{150}$

C．$M=\dfrac{b_1+b_2+\cdots+b_{150}}{n}$

D．$M>\dfrac{b_1+b_2+\cdots+b_{150}}{150}$

正确答案是 C．