每日一题[1024]影子有多长

平面上有两条线段$AB=3$，$AC=5$，且$\angle BAC=\dfrac{\pi}6$，则线段$AB$和$AC$在该平面上任意一条直线$l$上的投影的长度之和的取值范围是_________．

正确答案是$\left[\dfrac 32,\sqrt{34+15\sqrt 3}\right]$．

分析与解　设投影直线的方向向量为$\overrightarrow n$，记$\langle \overrightarrow n,\overrightarrow {AB}\rangle =x$，注意到$\cos(-x)=\cos x$，所以投影长度之和一定可以写成 $$m=\left|3\cos x\right|+\left|5\cos\left(x+\dfrac{\pi}6\right)\right|.$$ 设 $$\begin{split}f(x)&=\left|3\cos x+5\cos\left(x+\dfrac{\pi}6\right)\right|,\\g(x)&=\left|3\cos x-5\cos\left(x+\dfrac{\pi}6\right)\right|,\end{split}$$ 则 $$m=\max\{f(x),g(x)\}.$$
如图，作出函数$f(x)$与$g(x)$的图象．

$m$的最大值即为函数$f(x)$的最大值 $$\sqrt{\left(3+\dfrac{5\sqrt 3}2\right)^2+\left(-\dfrac 52\right)^2}=\sqrt{34+15\sqrt 3}.$$ $m$的最小值当 $$3\cos x+5\cos\left(x+\dfrac{\pi}6\right)=3\cos x-5\cos\left(x+\dfrac{\pi}6\right)$$ 时，也即$x=\dfrac{\pi}3$取得，此时$m=\dfrac 32$．

综上所述，所求投影的长度之和的取值范围是$\left[\dfrac 32,\sqrt{34+15\sqrt 3}\right]$．

注　本题来自尬题18，类似问题见每日一题[709]向量问题的两个角度．