每日一题[1013]用导数证明不等式

已知函数$f(x)={\rm e}^{ax}-1+\ln(x+1)$．
(1) 若函数$f(x)$在区间$(-1,+\infty)$内单调递增，求$a$的取值范围；
(2) 若$0<a\leqslant 1$，且$x>0$，求证：$f(x)>2ax$．

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分析与解　(1) 函数$f(x)$的导函数

$$f'(x)=a{\rm e}^{ax}+\dfrac{1}{x+1},$$ 于是问题即 $$\forall x>-1,a{\rm e}^{ax}+\dfrac{1}{x+1}\geqslant 0.$$ 取$x=0$，可得$a\geqslant -1$．

当$a\geqslant 0$时，显然符合题意；

当$-1\leqslant a<0$时，设$\varphi(x)=a(x+1){\rm e}^{ax}+1$，则其导函数

$$\varphi'(x)=a^2{\rm e}^{ax}\left(x+1+\dfrac 1a\right),$$ 于是$\varphi(x)$的极小值，亦为最小值为 $$\varphi\left(-1-\dfrac 1a\right)=-{\rm e}^{-a-1}+1\geqslant 0,$$ 符合题意．

综上所述，$a$的取值范围是$[-1,+\infty)$．

(2) 问题即当$0<a\leqslant 1$且$x>0$时，有

$${\rm e}^x-1+\ln\left(\dfrac xa+1\right)>2x,$$ 而上式 $$LHS>{\rm e}^x-1+\ln(x+1).$$ 接下来我们证明 $${\rm e}^x-x-1>x-\ln(x+1),$$ 也即 $${\rm e}^x-x-1>{\rm e}^{\ln(x+1)}-\ln(x+1)-1,$$ 而函数$y={\rm e}^x-x-1$在$(0,+\infty)$上单调递增，且当$x>0$时，有$x>\ln (x+1)>0$，因此上述不等式得证．

注　事实上，我们有更强的

$$\left({\rm e}^x-1\right)\cdot\ln(x+1)>x^2.$$