已知$a,b>0$，$a+\sqrt{b^2+8}=4$，则$\dfrac 3a+\dfrac 1b$的最小值是_______．
正确答案是$4$．
分析与解 根据切割线放缩，有\[4=a+\sqrt{b^2+8}\geqslant a+\dfrac 13(b-1)+3,\]于是\[a+\dfrac b3\leqslant \dfrac 43,\]进而\[\dfrac 3a+\dfrac 1b\geqslant \dfrac{\left(\sqrt 3+\dfrac{1}{\sqrt 3}\right)^2}{a+\dfrac b3}\geqslant 4,\]等号当且仅当$(a,b)=(1,1)$时取得．因此所求的最小值为$4$．
最后给出一道练习：
已知$\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i=n$，求$\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i\cdot 2^{x_i}\right)$的最小值．
解 切线放缩
可以证明\[\forall x\in \mathbb R,x\cdot 2^x\geqslant \left(\ln 4+2\right)(x-1)+2,\]因此\[\sum_{i=1}^n\left(x_i\cdot 2^{x_i}\right)\geqslant \left(\ln 4+2\right)\sum_{i=1}^n\left(x_i-1\right)+2n=2n,\]当$x_i=1$时取到等号，从而得到所求的最小值为$2n$．
练习还可以通过切比雪夫不等式解决：
由切比雪夫不等式可得\[\sum_{cyc}\left(x_i\cdot 2^{x_i}\right)\geqslant \dfrac 1n\sum_{cyc}x_i\cdot \sum_{cyc}2^{x_i}=\sum_{cyc}2^{x_i}\geqslant n\cdot 2^{\frac 1n\sum_{cyc}{x_i}}=2n.\]当$x_i=1$时取到等号．
注 $n=2$的情形可以用对称换元解决，见每日一题[981]．