每日一题[981]对称换元

已知$a+b=6$，则$\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)$的最小值是_______．

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正确答案是$144$．

分析与解　设$a=3+x$，$b=3-x$，则

$$\begin{split}\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)&=\left(x^2+13+6x\right)\left(x^2+13-6x\right)\\&=x^4+26x^2+169-36x^2\\&=\left(x^2-5\right)^2+144,\end{split}$$ 于是所求最小值为$144$，当$x=\pm \sqrt 5$时取得．

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下面给出一道练习：

练习　已知$x_1+x_2=2$，求$x_1\cdot 2^{x_1}+x_2\cdot 2^{x_2}$的最小值．

解　设$x_1=1+x$，$x_2=1-x$，则

$$(1+x)\cdot 2^{1+x}+(1-x)\cdot 2^{1-x}=2\left(2^x+2^{-x}\right)+2x\left(2^x-2^{-x}\right)\geqslant 4.$$ 当$x=0$，即$x_1=x_2=1$时取到等号，所以所求最小值为$4$．