每日一题[965]立体几何中的计数

在四面体的顶点和各棱中点共$10$个点中，其中两两连线共可组成的异面直线对数为_______．

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正确答案是$255$．

分析与解　由这$10$个点组成的直线共有$33$条，所有的直线对数为${\rm C}_{33}^2=528$，接下来考虑其中共面的直线对．

如图，共面的直线对分为$5$类，合计对数为

$$4{\rm C}_9^2+3{\rm C}_6^2+6{\rm C}_4^2+4{\rm C}_3^2+12{\rm C}_3^2=273.$$ 因此所求的异面直线对数为$528-273=255$．