每日一题[965]立体几何中的计数

在四面体的顶点和各棱中点共 $10$ 个点中，其中两两连线共可组成的异面直线对数为_______．

正确答案是 $255$ ．

　由这 $10$ 个点组成的直线共有 $33$ 条，所有的直线对数为 ${\rm C}_{33}^2=528$ ，接下来考虑其中共面的直线对．

如图，共面的直线对分为 $5$ 类，合计对数为

4 C_{9}^{2} + 3 C_{6}^{2} + 6 C_{4}^{2} + 4 C_{3}^{2} + 12 C_{3}^{2} = 273.

$4{\rm C}_9^2+3{\rm C}_6^2+6{\rm C}_4^2+4{\rm C}_3^2+12{\rm C}_3^2=273.$ 因此所求的异面直线对数为

528 - 273 = 255

$528-273=255$ ．

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