每日一题[958]裂项求和与放缩

发表于2017年9月2日由意琦行

求证：$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{16}{(2k+1)(2k+2)}>\dfrac{9n-3}{4n+3}$．

cover分析与解　裂项放缩，有\[LHS=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{16}{(2k+1)(2k+2)}>\sum_{k=1}^{n}\dfrac{16}{(2k+1)(2k+3)}=\dfrac 83-\dfrac 8{2n+3}>\dfrac{9n-3}{4n+3}.\]事实上，当$n\geqslant 4$时，有\[LHS\geqslant \dfrac{16}{12}+\dfrac{16}{30}+\dfrac{16}{56}+\dfrac{16}{90}=\dfrac{734}{315}>\dfrac 94>RHS.\]

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《每日一题[958]裂项求和与放缩》有2条回应

  1. Avatar photo thebluesky说：
    2017年9月2日 下午9:34

    $$16\sum_{k=1}^n\left(\dfrac 1{2k+1}-\dfrac 1{2k+2}\right)和16\left(\dfrac 13-\dfrac 1{2n+2}\right)不相等吧,$$
    $$应该是\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+…+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}吧？$$

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