每日一题[100] 换元与化齐次

已知正数$a,b$满足$a+b+\dfrac 1a+\dfrac 9b=10$，则$a+b$的取值范围是_______．

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正确答案是$[2,8]$．

设$u=a+b$，则

$$\dfrac 1a+\dfrac 9b=10-u,$$ 于是 $$\left(\dfrac 1a+\dfrac 9b\right)\cdot\left(a+b\right)=u(10-u),$$ 即 $$u(10-u)=10+\dfrac ba+\dfrac{9a}{b}\geqslant 16,$$ 解得 $$2\leqslant u\leqslant 8.$$

事实上，当$a=\dfrac 12$，$b=\dfrac 32$时，$a+b=2$；

当$a=2$，$b=6$时，$a+b=8$．

因此$a+b$的取值范围是$[2,8]$．