每日一题[100] 换元与化齐次

已知正数\(a,b\)满足\(a+b+\dfrac 1a+\dfrac 9b=10\)，则\(a+b\)的取值范围是_______．

正确答案是\([2,8]\)．

设\(u=a+b\)，则\[\dfrac 1a+\dfrac 9b=10-u,\]于是\[\left(\dfrac 1a+\dfrac 9b\right)\cdot\left(a+b\right)=u(10-u),\]即\[u(10-u)=10+\dfrac ba+\dfrac{9a}{b}\geqslant 16,\]解得\[2\leqslant u\leqslant 8.\]

事实上，当\(a=\dfrac 12\)，\(b=\dfrac 32\)时，\(a+b=2\)；

当\(a=2\)，\(b=6\)时，\(a+b=8\)．

因此\(a+b\)的取值范围是\([2,8]\)．