每日一题[892]异面直线所成角

如图，四边形 $ABCD$ 和 $ADPQ$ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 $M$ 在线段 $PQ$ 上，$E,F$ 分别为 $AB,BC$ 的中点．设异面直线 $EM$ 与 $AF$ 所成的角为 $\alpha$，则 $\cos \alpha$ 的最大值为________．

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正确答案是$\dfrac 25$．

分析与解　如图，考虑三面角$E-MNR$，其中$N$为$BF$的中点，$R$为$CD$的中点．设$M-ER-N=\varphi$，$\langle \overrightarrow{EM},\overrightarrow{EN}\rangle =\theta$，则$\tan\varphi=-2$，$\cos\varphi=-\dfrac{1}{\sqrt 5}$：因此根据三射线定理，有

$$\begin{split}\cos\theta&=\cos\angle MER\cdot \cos\angle NER+\sin\angle MER\cdot \sin\angle NER\cdot \cos\varphi\\&=\cos\angle MER\cdot \dfrac{1}{\sqrt 5}+\sin\angle MER\cdot \dfrac{2}{\sqrt 5}\cdot \left(-\dfrac{1}{\sqrt 5}\right)\\&=\dfrac{1}{\sqrt 5}\cos\angle MER-\dfrac 25\sin\angle MER.\end{split}$$ 注意到当$M=P$时，$ED\perp AF$，于是$\theta=\dfrac{\pi}2$，当$M$从$P$运动到$Q$时，$\theta$单调递增，因此当$M=Q$时，$\cos\theta$取得最小值$-\dfrac 25$，所求最大值为$\dfrac 25$．

其他方法　建系求解

以$A$为原点，$AB,AD,AQ$为$x,y,z$轴建立空间直角坐标系，则有

$$\overrightarrow{AF}=(2,1,0),\ E(1,0,0),\ M(0,m,2),$$ 其中$m\in[0,2]$，从而有$\overrightarrow{EM}=(-1,m,2)$， $$\cos\alpha=\left|\dfrac {m-2}{\sqrt 5\cdot\sqrt{5+m^2}}\right|,$$ 设$t=2-m\in[0,2]$，则有 $$\cos\alpha=\dfrac{t}{\sqrt{5(9-4t+t^2)}}=\dfrac 1{\sqrt 5}\cdot\dfrac 1{\sqrt{9\left(\frac 1t-\frac 29\right)^2+\frac 59}},$$ 因为$\dfrac 1t\in\left[\dfrac 12,+\infty\right)$，当$\dfrac 1t=\dfrac 12>\dfrac 29$时，$\cos\alpha$有最大值$\dfrac 25$．