每日一题[891]角边互化

已知$\triangle ABC$中，角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$，且$a+c=2b$，求证：$\tan\dfrac A2\cdot \tan\dfrac C2\geqslant \tan^2\dfrac B2$．

分析与解　根据半角公式，有 $$\tan\dfrac A2=\sqrt{\dfrac {1-\cos A}{1+\cos A}}=\sqrt{\dfrac {1-\dfrac {b^2+c^2-a^2}{2bc}}{1+\dfrac {b^2+c^2-a^2}{2bc}}}=\sqrt{\dfrac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}},$$ 其中$p$为$\triangle ABC$的半周长．于是欲证明不等式即 $$\sqrt{\dfrac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}\cdot \sqrt{\dfrac{(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}\geqslant \dfrac{(p-a)(p-c)}{p(p-b)},$$ 也即 $$(p-b)^2\geqslant (p-a)(p-c),$$ 也即 $$p(a+c-2b)+b^2\geqslant ac.$$ 事实上，根据均值不等式，有 $$b^2=\left(\dfrac{a+c}2\right)^2\geqslant ac,$$ 于是命题得证．