每日一题[95] 求数列通项

已知正项数列$\left\{a_n\right\}$的前$n$项和为$S_n$．

（1）若

$$\forall n\in\mathcal N^*,S_n=\dfrac 12\left(a_n+\dfrac{1}{a_n}\right),$$ 求数列$\left\{a_n\right\}$的通项公式；

（2）若

$$\forall n\in\mathcal N^*,a_n=\dfrac 12\left(S_n+\dfrac{1}{S_n}\right),$$ 求数列$\left\{a_n\right\}$的通项公式．

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（1）当$n=1$时，可得$a_1=1$；

当$n\geqslant 2$时，根据已知条件有

$$S_n=\dfrac 12\left(S_n-S_{n-1}+\dfrac{1}{S_n-S_{n-1}}\right),$$ 整理得 $$S_n^2-S_{n-1}^2=1,$$ 从而有 $$S_n^2=n,$$ 进而不难解得 $$a_n=\sqrt n-\sqrt{n-1}.$$

经验证，当$n=1$时，上式亦适用．因此$a_n=\sqrt{n}-\sqrt{n-1},n\in\mathcal N^*$．

（2）当$n=1$时，可得$a_1=1$；

当$n\geqslant 2$时，根据已知条件有

$$S_n-S_{n-1}=\dfrac 12\left(S_n+\dfrac{1}{S_n}\right),$$ 整理得 $$\dfrac{1}{S_{n-1}}=\dfrac{\dfrac 2{S_n}}{1-\dfrac{1}{S_n^2}}.$$ 联想到三角公式 $$\tan{2x}=\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2{x}},$$ 结合 $$S_1=1=\tan\dfrac{\pi}{4},$$ 可得 $$\dfrac{1}{S_n}=\tan\dfrac{\pi}{2^{n+1}},$$ 进而可得 $$a_n=\dfrac{1}{\sin\dfrac{\pi}{2^n}}.$$

经验证，当$n=1$时，上式亦适用．因此$a_n= \dfrac{1}{\sin\dfrac{\pi}{2^n}},n\in\mathcal N^*$．