已知函数f(x)=−13x3+x2−ax有三个零点0,x1,x2,且x1<x2.若对任意的x∈[x1,x2],f(x)>f(1)恒成立,求实数a的取值范围.
正确答案是(23,34).
分析与解 根据题意,有f(x)=−13x(x2−3x+3a).设g(x)=x2−3x+3a,则当其判别式Δ=9−12a>0时,函数f(x)有3个零点,解得a<34.
考虑到函数f(x)关于(1,f(1))对称,于是不等式f(x)>f(1)的解集为(−∞,2−m)∪(1,m),其中m>1且f(m)=f(1).根据题意,区间[x1,x2]是其子集,因此1<x1<x2,继而f(1)<0即可,也即g(1)>0,得到3a−2>0,解得a>23.
综上所述,实数a的取值范围是(23,34).
注 三次函数的相关性质在方法技巧《三次函数的性质》中有系统介绍.
本题也可以直接考虑f(x)−f(1)=13(x−1)[x2−2x+(3a−2)]<0,对x∈[x1,x2]恒成立,从而有1∉[x1,x2],又因为x1+x2=3,所以有1<x1<x2.
记h(x)=x2−2x+(3a−2),则h(x)<0对x∈[x1,x2]成立,其中x1,x2是x2−3x+3a=0的两根,由1<x1<x2知,这只需要h(x2)=x22−2x2+(3a−2)<0即可.
又因为3a=x1⋅x2=x2(3−x2),所以有x22−2x2+x2(3−x2)<0,解得x2<2,又因为x2>32,所以x2∈(23,2),从而a=13x2(3−x2)∈(23,34).