每日一题[832]三次函数的性质

已知函数$f(x)=-\dfrac 13x^3+x^2-ax$有三个零点$0,x_1,x_2$，且$x_1<x_2$．若对任意的$x\in [x_1,x_2]$，$f(x)>f(1)$恒成立，求实数$a$的取值范围．

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正确答案是$\left(\dfrac 23,\dfrac 34\right)$．

分析与解　根据题意，有

$$f(x)=-\dfrac 13x\left(x^2-3x+3a\right).$$ 设$g(x)=x^2-3x+3a$，则当其判别式 $$\Delta=9-12a>0$$ 时，函数$f(x)$有$3$个零点，解得$a<\dfrac 34$．

考虑到函数$f(x)$关于$(1,f(1))$对称，于是不等式$f(x)>f(1)$的解集为

$$(-\infty,2-m)\cup (1,m),$$ 其中$m>1$且$f(m)=f(1)$．根据题意，区间$[x_1,x_2]$是其子集，因此$1<x_1<x_2$，继而$f(1)<0$即可，也即$g(1)>0$，得到$3a-2>0$，解得$a>\dfrac 23$．

综上所述，实数$a$的取值范围是$\left(\dfrac 23,\dfrac 34\right)$．

注　三次函数的相关性质在方法技巧《三次函数的性质》中有系统介绍．

本题也可以直接考虑

$$f(x)-f(1)=\dfrac 13(x-1)[x^2-2x+(3a-2)]<0,$$ 对$x\in[x_1,x_2]$恒成立，从而有$1\notin [x_1,x_2]$，又因为$x_1+x_2=3$，所以有$1<x_1<x_2$．

记$h(x)=x^2-2x+(3a-2)$，则$h(x)<0$对$x\in[x_1,x_2]$成立，其中$x_1,x_2$是$x^2-3x+3a=0$的两根，由$1<x_1<x_2$知，这只需要$h(x_2)=x_2^2-2x_2+(3a-2)<0$即可．

又因为$3a=x_1\cdot x_2=x_2(3-x_2)$，所以有

$$x_2^2-2x_2+x_2(3-x_2)<0,$$ 解得$x_2<2$，又因为$x_2>\dfrac 32$，所以$x_2\in\left(\dfrac 23,2\right)$，从而 $$a=\dfrac 13x_2(3-x_2)\in\left(\dfrac 23,\dfrac 34\right).$$