每日一题[832]三次函数的性质

已知函数f(x)=13x3+x2ax有三个零点0,x1,x2,且x1<x2.若对任意的x[x1,x2]f(x)>f(1)恒成立,求实数a的取值范围.


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正确答案是(23,34)

分析与解 根据题意,有f(x)=13x(x23x+3a).g(x)=x23x+3a,则当其判别式Δ=912a>0时,函数f(x)3个零点,解得a<34

考虑到函数f(x)关于(1,f(1))对称,于是不等式f(x)>f(1)的解集为(,2m)(1,m),其中m>1f(m)=f(1).根据题意,区间[x1,x2]是其子集,因此1<x1<x2,继而f(1)<0即可,也即g(1)>0,得到3a2>0,解得a>23

综上所述,实数a的取值范围是(23,34)

 三次函数的相关性质在方法技巧《三次函数的性质》中有系统介绍.

本题也可以直接考虑f(x)f(1)=13(x1)[x22x+(3a2)]<0,x[x1,x2]恒成立,从而有1[x1,x2],又因为x1+x2=3,所以有1<x1<x2

h(x)=x22x+(3a2),则h(x)<0x[x1,x2]成立,其中x1,x2x23x+3a=0的两根,由1<x1<x2知,这只需要h(x2)=x222x2+(3a2)<0即可.

又因为3a=x1x2=x2(3x2),所以有x222x2+x2(3x2)<0,解得x2<2,又因为x2>32,所以x2(23,2),从而a=13x2(3x2)(23,34).

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