每日一题[820]含参函数的最值

设函数$f(x)=(x-1){\rm e}^x-kx^2$，当$k\in \left(\dfrac 12,1\right]$时，求函数$f(x)$在$[0,k]$上的最大值．

正确答案是$(k-1){\rm e}^k-k^3$．

分析与解　根据题意，有$f(x)$的导函数 $$f'(x)=x\left({\rm e}^x-2k\right),$$ 考虑到$y={\rm e}^x-2k$在$[0,k]$上单调递增，因此需要考虑${\rm e}^k-2k$的正负．事实上，有 $$\left({\rm e}^k-2k\right)_k'={\rm e}^k-2,$$ 于是其极小值，亦为最小值是 $$\left({\rm e}^k-2k\right)\left|_{k=\ln 2}\right.=2-2\ln 2>0,$$ 因此函数$f(x)$在$[0,k]$上先单调递减，再单调递增，其最大值为 $$\max\{f(0),f(k)\}=\max\{-1,(k-1){\rm e}^k-k^3\}.$$ 作差比较，有 $$f(k)-f(0)=(k-1){\rm e}^k-k^3+1=(1-k)\cdot {\rm e}^k\left[{\rm e}^{-k}\cdot (k^2+k+1)-1\right].$$ 考虑到 $$\left({\rm e}^{-k}\cdot (k^2+k+1)\right)'={\rm e}^{-k}\cdot k(1-k)\geqslant 0,$$ 于是 $${\rm e}^{-k}(k^2+k+1)>\left({\rm e}^{-k}(k^2+k+1)\right)\left|_{k=0}\right.=1,$$ 这样就有$f(k)-f(0)>0$，因此所求的最大值为$f(k)=(k-1){\rm e}^k-k^3$．