设函数$f(x)=(x-1){\rm e}^x-kx^2$，当$k\in \left(\dfrac 12,1\right]$时，求函数$f(x)$在$[0,k]$上的最大值．
正确答案是$(k-1){\rm e}^k-k^3$．
分析与解 根据题意，有$f(x)$的导函数\[f'(x)=x\left({\rm e}^x-2k\right),\]考虑到$y={\rm e}^x-2k$在$[0,k]$上单调递增，因此需要考虑${\rm e}^k-2k$的正负．事实上，有\[\left({\rm e}^k-2k\right)_k'={\rm e}^k-2,\]于是其极小值，亦为最小值是\[\left({\rm e}^k-2k\right)\left|_{k=\ln 2}\right.=2-2\ln 2>0,\]因此函数$f(x)$在$[0,k]$上先单调递减，再单调递增，其最大值为\[\max\{f(0),f(k)\}=\max\{-1,(k-1){\rm e}^k-k^3\}.\]作差比较，有\[f(k)-f(0)=(k-1){\rm e}^k-k^3+1=(1-k)\cdot {\rm e}^k\left[{\rm e}^{-k}\cdot (k^2+k+1)-1\right].\]考虑到\[\left({\rm e}^{-k}\cdot (k^2+k+1)\right)'={\rm e}^{-k}\cdot k(1-k)\geqslant 0,\]于是\[{\rm e}^{-k}(k^2+k+1)>\left({\rm e}^{-k}(k^2+k+1)\right)\left|_{k=0}\right.=1,\]这样就有$f(k)-f(0)>0$，因此所求的最大值为$f(k)=(k-1){\rm e}^k-k^3$．