每日一题[753]抓住突破点

正整数$a,b$满足$1<a<b$，若关于$x,y$的方程组$\begin{cases} y=-2x+4035,\\y=|x-1|+|x-a|+|x-b|,\end{cases}$有且仅有一个实数解，则$a$的最大值为______．

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正确答案是$2017$．

分析与解　函数$y=|x-1|+|x-a|+|x-b|$的图象是四段折线，折线的分界点$x=1,a,b$，各段折线的斜率分别为$-3,-1,1,3$，草图如下：

一条$k=-2$的直线与此折线只有一个公共点，所以必经过点$(1,a+b-2)$，即

$$a+b-2=-2+4035=4033,$$ 即$a+b=4035$，又$a<b$，且$a,b$都是正整数，所以$a$的最大值为$\dfrac {4035-1}{2}=2017$．