每日一题[739]函数的单调性

若函数$f(x)=x^2\cdot |x-a|$在区间$[0,2]$上单调递增，则实数$a$的取值范围是______．

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分析与解　$\left(-\infty,0\right]\cup\left[3,+\infty\right)$．

若$a\leqslant 0$，则当$x\in [0,2]$时，$f(x)=x^2\cdot (x-a)$，单调递增．符合题意；

若$a>0$，必然有$a>2$(否则$f(0)=f(a)=0$，不可能在$[0,a]$上单调递增，不符合题意)．于是当$x\in [0,2]$时，有

$$f(x)=x^2\cdot (a-x),$$ 其导函数 $$f'(x)=x(2a-3x),$$ 因此有$\dfrac {2a}3\geqslant 2$，从而$a\geqslant 3$．

综上所述，$a$的取值范围是$\left(-\infty,0\right]\cup\left[3,+\infty\right)$．