每日一题[738]代数条件直观化

已知关于$x$的方程$x^2+2bx+c=0$($b,c\in\mathbb R$)在$[-1,1]$上有实根，且$0\leqslant 4b+c\leqslant 3$，则$b$的取值范围是_______．

分析与解　$[0,2]$．

根据题意，直线$y=2bx+c$与抛物线的一部分(包含端点)$y=-x^2$($x\in [-1,1]$)以及线段$AB$均有公共点，其中$A(2,0)$，$B(2,3)$，如图．
不难得到直线$y=2bx+c$的斜率$2b$的最小值为$0$(当直线过点$(0,0)$和点$A(2,0)$时取得)，最大值为$4$(当直线过点$(1,-1)$和点$B(2,3)$时取得)．因此$b$的取值范围是$[0,2]$．