每日一题[747]构造函数证明不等式

已知$a,b\in (0,1)$，求证：$a^a+b^b\geqslant a^b+b^a$．

分析与证明　当$a=b$时，不等式显然成立；

当$a\neq b$时，不妨设$0<a<b<1$，且令$\varphi(x)=x^a-x^b$，则只需要证明$\varphi(x)$在区间$[a,b]$上单调递减．由于$\varphi(x)$的导函数 $$\varphi'(x)=ax^{a-1}-bx^{b-1}=bx^{a-1}\left(\dfrac ab-x^{b-a}\right),$$ 而$y=x^{b-a}$在$(0,+\infty)$上单调递增，于是只需要证明 $$\forall b \in (a,1),\dfrac ab-a^{b-a}<0,$$ 也即 $$\forall b\in (a,1),b\ln a+\ln b-(a+1)\ln a>0.$$ 令$\mu(x)=x\ln a+\ln x-(a+1)\ln a$，则其导函数 $$\mu'(x)=\ln a+\dfrac 1x.$$ 考虑$\mu'(a)=\ln a+\dfrac 1a$，我们熟知当$a\in (0,1)$时，有 $$\ln a=-\ln \dfrac 1a>-\left(\dfrac 1a-1\right)=1-\dfrac 1a,$$ 于是$\mu'(a)>1$，又$\mu'(x)$单调递减，因此在区间$(a,1)$上，函数$\mu(x)$或者单调递增，或者先单调递增后单调递减．又$\mu(a)=0$，$\mu(1)=-a\ln a>0$，于是在区间$(a,1)$上，有$\mu(x)>0$．这样我们就证明了函数$\varphi(x)$在区间$[a,b]$上单调递减，从而 $$\varphi(a)>\varphi(b),$$ 即 $$a^a-a^b>b^a-b^b,$$ 原不等式成立．

综上所述，原不等式成立，且等号当且仅当$a=b$时取得．

思考与总结　构造合适的函数，利用函数的单调性简化问题．